2006年08月27日
先週の問題の解答編 ＆ トレード応用編
先週出した問題は以下のようなものでした。
とあるカジノに
【サイコロを1つ振って、出た目が偶数なら掛け金が倍、奇数なら掛け金が半分】
というギャンブルがあるとします
さて、あなたが今このギャンブルに挑戦するとして
あなたはこのギャンブルでお金を増やし続けることが出来るでしょうか？
増やせる場合はその方法を、増やせない場合はその理由を示してください
※掛け金はいくらでも自由に掛けることができます
※このギャンブルは、何度でも自由に挑戦することができます
皆さん、解けたでしょうか？
今回初めてこれを読んだ方は是非、解答を見る前に自分で考え、自分なりの結論を出してみて下さい。
トレーダーとしてのスキルが磨かれると思います。
ちなみにヒントは、『2分の1の確立で倍になっても、半分になったら元に戻るから…、増えも減りもしないんじゃないか？』ではないという事です。
資産と掛け金は別であると考えるのが重要です。
※下に大きくスクロールすると解答編です。
【解答】
まず、増えるか増えないかですが、お金は無限に増やせます。
理由より実例を見た方が簡単だと思うので、早速正解例を書いてみます。
実は正解例は無数にあるんですが、すごく簡単な例から行きます。
わかりやすく、手持ちのお金が1万円だったとします。
そして、まず500円賭けてこのギャンブルに挑戦するとしましょう。
そうすると、この500円は
・2分の1の確立で1000円
・2分の1の確立で250円
になります。
これは、言い換えるとこういう事です
・2分の1の確立で500円増える
・2分の1の確立で250円減る
…こう書かれると「あ、増えるかも」って分かりますね。
ただ、ここで止まると正解としてはやや不十分です。
まだ、「お金を増やし続けるやり方」がはっきり決められてません。
勝った時と負けた時に次の賭け金をどうするか、そのルールをしっかりと決めることが大事です。
そこで、以下のようなルールで毎回賭けると決めます。
・500円を賭けて1000円になったら、儲かった500円は手元に戻して、また500円で挑戦する
・500円を賭けて250円になったら、減った250円を手元から補充して、また500円で挑戦する
これは、言い換えるとこういう事です。
・2分の1の確立で、手元に500円入ります
・2分の1の確立で、手元から250円減ります
これなら、2回やって勝ちと負けが半々でも、250円増えますね。
このルールに従って回数を重ねれば、お金を増やし続ける事が可能になります。
これが一番納得しやすい実例ではないかな、と思います。
もし、まだ納得できないという方は、ぜひ実際に自分で紙に金額の推移を書いてみてください
問題のミソは、「手持ちの資金」と「賭け金」が別であることです。
これが一番重要なことです。
もし、資金と賭け金が同じ金額だったとしたら
上の例のように手持ちが1万円なら、賭け金も1万円ということで
勝って2万円になっても次負けたら1万円で元通り、になり
資金は増えも減りもしませんね。
そこで考えが止まってしまうと、正解に辿り着けません。
この「手持ちの資金」と「賭け金」が別である事は、問題文では、はっきりとは書いてませんが
※このギャンブルは、何度でも自由に挑戦することができます
この条件が、それを表していますね。
ちなみに、例えば「手持ちの資産の10分の1で賭け続ける」などでも正解です。
あと、文中ではゲームの台が複数あるかを定義してなかったですが、「複数同時に一定の金額でゲームをする」でも増やせますので正解です（これについては下で詳しく書きます）。
--
以下、少しトレードの話に移ります。
すぐ上のところで書いた、「資金と賭け金が別である」というのは、
普段何気なく実践してますが、
言い換えれば資金を投資機会で分散するということです。
これは、一般に言う分散投資とも通じるところがありますね。
だから、最初の問題文には書かれてませんが、
現実にもし、例えばこのギャンブルをやるテーブルが複数あったとしたら
10台で1000円賭けてそれぞれで挑戦すれば、5000円が1万円に、残り5000円が2500円になり、
確率的には12500円に増えます、
それにこうやって分散すると、1回のゲームにかかる時間が10分の1に短縮されて効率的ですね。
ただ勿論、全部の台で負ける確立はあります。
それは2の10乗、つまり1024分の1の確立で、約0.1%ですね。
ただ、全部で負けても手元に5000円残りますから、まだ1000円単位で賭けられます。（※その場合は5台でしか挑戦できませんが、1000円で賭けるというルールを遵守している限り破産確立は変わらず、最終的に帰結する「10回で1.25倍」というペースも変わりません）
ちなみに、負け続けて手元の資金がルールで決めた賭け金以下になってしまい
ルールが守れなくなる、という事も当然考えられますが
そこまで考慮しないと、「増やし続けるルール」とは言い切れないとも言えるので、
その確立もしっかり出してみましょう。
なので、1000円ずつ賭けるとしたら
500 x 回数 > 10000 - 1000
500 x 回数 > 9000
回数 > 18
つまり19回連続で負けた時ですね。
2の19乗なので52万4288分の1の確立です。
まぁよほど不運でキングボンビーに憑かれてる人でも無いと当たらない確率だとは思いますが
不安な人は500円ずつで投資すればいいですね。
その場合は38連敗まで耐えられるので39連敗でアウトになり、つまり
5497億5581万3888分の1の確立ですね。
まぁたぶん大丈夫でしょう。
それでも不安な人は、250円単位にすれば(※以下省略）
ちょっと話しは脱線しますが、
こんな感じで、乗数（指数）になると、すごくとんでもない数字になります。
これを、「指数的な爆発」と言います（※他にも呼び方はたくさんあります）。
これはつまり、指数はとんでもない勢いで増えるよって事ですが
これを味方につけると、凄まじく心強いです。
上の例では破産確立の低減に指数的な爆発が起こっていますね。
そうやって指数を味方につける方法を探してみたり、活用する方法を考えるのも面白いと思います。
実は一応、既にこのブログ自体がそれを間接的に実践してたりします。
というかまぁ、要は複利って指数的な爆発と同じことだという事なんですが、
その応用の説明に入る前に、さっき書いた「分散投資」にも色んなやり方があるので、そこから説明します。
--
まず分散投資というと一般的には、例えば投資対象の分散だったり、
システムトレーダーなら、複数システム(モデル)の同時運用だったりしますね。
これは、今回出した問題で例えると、解答例の下のとこで説明した
「もしこのギャンブルをするテーブルが10台あったとしたら、その10台にお金を分散し
10台同時にゲームする」というやり方に当たります。
この場合、ゲーム自体は同時にやろうとしてる訳なので、これを「横の分散投資」と呼ぶことにしましょう。
こう考えた上で、一番最初の正解例を見ると、一つ見えてくる事がありますね。
最初の正解例で書いたやり方は、時間単位でお金賭けるのを区切っているから、言うなれば「縦の分散投資」です。
つまりこれは、投資対象は１つしかなく、ゲームをする台が1台だとしても
それでも時系列上で投資機会を均等に分散すれば、分散投資は可能という事です。
実際、「毎回1000円ずつ投資し、勝ったら1000円を手元に戻し、負けたら500円を補充する」というやり方を10回繰り返すのと
10台のゲーム台で同時に1000円賭けて行うことによって、得られる確率的な金額は
12500円で、同一です。
ただ、このような事について、思うにシステムトレードの世界ではあまり語られてない気がします。
一般的な分散投資である、「横の分散投資」についても、世間では単に
【リスクを複数へ分散することで、リスクに強い投資法にしましょう】
的な、主にリスクヘッジとしての側面でしか語られてない気がするわけです。
本当は、横に分散するという考え方は、システムその物がプラスの期待値ならば、横に分散すればそれだけで同じ確立でも増やすペースそのものがUpできるのに
そこに真剣に踏み込んで方法を書いたテキストがあんまり無いというか、
リスクヘッジという考え方までしか書かれてない気がします。
そして、今回のような「縦の分散投資」になると、それ以上に書かれていないし、語られてもいないと思います。
ちなみに、縦の分散投資において一番大事なのは、正解例の
ここにあると思います。
こうやって、負けた金額を補充することで、それぞれの時系列上のトレード機会の条件を同じにする事ができるわけですね。
という訳で、このように、縦や横に分散するという事は、
一見、増えも減りもしなさそうな仕組みのものを打ち出のこづちにする事ができる、というようなお話でした。
（※なかには、最初から「それは絶対増えるでしょう」と直感で感じる人も居るようですが…（友人に出題したら、一人居ました））
今回の「投資機会の分散」というのは、横の分散投資としても、縦の分散投資としても、いろいろと応用が利く上に
「投資額をどうするか」というトレードの根本についても結びついてくるので、
ぜひ色々考えてみてください。
--
で、ついでなので
ここから先は上の「縦の分散投資」を自分がどう応用したかのハナシを書いてみようと思います。
まず、自分はさっき書いた「指数を味方につける」と「負けた金額を補充する」という2つは
すごく相性がいいのではないか、と感じました。
この二つは相互補完的な関係になりうる、と思ったわけです。
ただ当時はそこまでしっかり言語化できてなくて、いろいろモヤモヤしながら
なんか上手くいく気がするんだけどなぁと思いつつ取り組んでました。
それが、当時システムを作ってる最中に書いていた
「少額でも、フルレバの爆発力でとんでもない数字に増えるシステムであれば、負ける時に負けてもいい」
「oandaは1通貨単位で投資できるので、資産比率で投資額を決めれば、永遠にトレードし続けられる」
「少額で狙うシステムなら、負けても負けた分を簡単に補充できる」
という辺りの発言に反映されてますが、これだと分かりにくいので、流れで説明してみます。
自分の考えた事はつまりこういうことです
・まず、勝ち負けが小幅でも投資回数が多いシステムが組めたとする
・そうすれば勝ち負けが小さい分、レバも上げられ、複利で指数的な爆発を呼び込みやすい
・指数的な爆発を呼び込めるなら、スタート資金は小さくても必要充分
・スタート資金を小さくできるという事は、つまり負けても補充が小さくて済む、ということ
・というか、そうやって負け分を補充して投資機会の環境を均等にすれば、それは縦の分散投資ではないか
・縦の分散投資は、それだけで勝つ仕組みになりえそう(※その理由が今回の問題の解答です)
・という事で、まず投資機会は1年単位くらいで考えてみる
・1年単位なら、負けた分を補充するのは1年に1回だけでいい
・1年という年月があれば、少額なスタート資金までの補充分くらいは自然に溜まるから問題ない
・それに、1年ごとに縦に投資機会を分散するという事は、既存の「破産確立」という概念を1年単位でリセットできるとも言える（補充を前提にしてるから、とある一年で資産が全滅しかけるような爆負けが起ころうと、なんの問題も無い）
・そうやって「破産確立」に余裕ができるなら、レバにも更に無理が効く
・という事は、スタート資金は更に小さくていい
・そして、そこまでスタート資金が小さくていいなら、1年もあればその負け分程度を捻出するのは更に余裕になる。という良い循環が起きる。
・つまり、永遠にやり続ける事が可能と言えそう
・それなら、さすがにいつかは勝てそうだ
・つまり結局、とにかく勝ち負けが小幅でも投資回数が多いシステムを作れば、目指すやり方ができそうだ
と、当時はしっかり言語化できてませんでしたが、こういうのが頭の中で渦巻いてました。
その結果出来上がったのが、今やってるシステムです。
なので、単にフルレバと言っても、システムの設計そのものが内包してる指数的な爆発や、
投資機会の縦の分散によるフルレバリスクそのもののヘッジなどなど
いろいろと同じ考えに基いた仕掛けが全体に散りばめられてのフルレバなので、
実は見かけほど無鉄砲ではない、と自分では考えてます。
不遜ながら、単なるギャンブル狙いのフルレバとはちょっと違う、と自負したい…です。
ちなみに、これの一番の目玉は、既に散々書きましたが
「投資機会を縦に区切れば、それぞれの投資機会で負けても、負け分補充してそれぞれの機会を均等すればOK」
という考えだと思っていて、ここが、既存のシストレにはない、新しい考え方だと考えています。
これって、毎年均等のパフォーマンスを挙げなきゃいけないファンドなんかでは、特に実戦しようがない発想で
一言で言えば、破産しちゃってもいい、っていうような考え方なので
今まで殆どこういう考え方は実践されても無ければ語られても無かったと思うんですね。
この辺が、個人シストレの自由度の高さかな、と思います。
自分では結構「これは新しいパラダイムになりうるのでは」とか思ってたりしますが、どうでしょうかね。実際どうなのか分かりませんが…。
ただ今後、このブログで結果が出せなくとも、この発想自体は充分使える考え方だと思います。
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コメント
投稿者 otk : 2006年08月31日 00:19
初めまして、感想ありがとうございます
> 負けたとき、掛け金が"半分"ってのが気になりますね。
> ギャンブルでは負けたとき掛け金はゼロになるのが普通ですよね。
そういうことですね
もし掛け金がゼロになる場合、増えも減りもしないですが
そういう形態が一般的だと思います
> そんな賭ける人に都合のよいギャンブルってあるんでしょうか？
現実的に、ギャンブルとしてはないと思われます
…今回、カジノとゲームを引き合いに出したのは
こういう条件と確立のシンプルなギャンブルとして即物的に考えれば
「資金と掛け金を分けて考える」、というやり方を当たり前のように考えられる為
資金＝掛け金と考えた時の増えも減りもしないやり方との違いを
すんなり理解でき、自然に受け止めてもらえるだろう、と
そういう狙いがあったからなんですが、
逆に、こういう例だと増えるのが当たり前すぎて「？」と感じてしまうかも知れません。
といっても、今回の話は裁量トレードだとそんなに関係ないかもですが
システムトレードにはかなりの使いようがある、と思います
その辺り、ちょっと説明不足だったので
この話しがシストレとどう関係があるのか、改めて補足書きますね
> よくわかってないかもですが、幼稚なカキコミすみません。
いえいえ、こちらこそ上手く書けてなくてすみません
今後も何か思うところあれば、その時にまた書いてやって下さい
投稿者 ハイフェッツ : 2007年06月08日 03:53
全額掛け続ける戦略が正解だと思います。
「無限」という文句が問題を難しくしていますが、
たとえば、N回賭けをやった後の儲けの期待値が最大に
なっているのは「全額賭け」です。
リスクの分散は「得な条件」の下では意味が無いです。
単に遠慮しているだけとなります。
現実のマーケットでは一方的に得な条件というのが無いので
リスク分散の考えに意味がありますが、
この問題のように一方的に得な条件の下では、
毎回の利益を最大とする戦略が最善です。
投稿者 otk : 2007年06月08日 10:44
いえ、それは成り立ちません。
【期待値がプラス（得なことが分かっている）】なら【全額賭けが最善】というのは成り立ちません。
例えば、以下の例
・80% の確立で、賭け金が 30% 増える
・20% の確立で、賭け金が 90% 減る
このギャンブルは期待値が1.06で、絶対に儲かる事が分かっています。
つまり【得な事が分かっているギャンブル】です。
でも、もしこのギャンブルで【全額賭け】をおこなったら、あっという間に一方的に減り続けます。
例えば、8回勝って2回負けるという順序なら
（1→1.3→1.69→2.19→2.85→3.71→4.82→6.27→8.15→0.81→0.08）
これは、勝ちと負けの順序がどう入れ替わってもこの結果になります。
つまり1.06という結果を得られて必ず勝てるギャンブルの筈なのに、1→0.08という大惨敗になります。
ただもし、このギャンブルで0.1ずつ10回に分けて賭けを行ったのなら
・0.8が30%増えて1.04になって返ってくる
・0.2が90%減って0.02になって返ってくる
よって、トータルで見れば1が1.06になって返ってくる。
期待値通りの結果です。
この賭け方を何度も繰り返せば、増やし続ける事ができます。
でもそれは「無限」という文句とは関係ないです。
たとえ無限に続けなくとも、10回続けるだけですらこういう違いが現れます。
この記事で書いたのはそういう話です。
--
巷ではよく「分散投資はリスクの分散」と言われていて
ハイフェッツさんもそう思っているからこそ
「こういう単純なゲームなら、リスク分散しても遠回りなだけだ」
「でも実際のマーケットはこう単純にはいかないから、リスク分散にも意味はあるが」
と思ったのだと思いますが、
この記事で書いたのは「分散投資にはリスクの分散とは全く別の特徴がある」という話です。
数学的な違いの話であり、リスク分散とは全く別の話です。
つまり、巷で言われてる「分散すればリスクも低減」というのは事実ではあるけど、ある意味間違ってます。
まぁ間違っているというより充分ではないというべきですが、その辺り本当みんな全然気付かず
「分散投資はリスクを低減できて～」などと書いてますけど、あれ、あんまり正しくありません。
今回の記事は「リスク分散するのは単なる遠回り」というのとは
全く別の話をしています。
そういうよくある話のリスクマネジメントとはまったく別の話です。
この記事の分散というのは、投資を「遠慮してる」わけでも「リスクを分散」してるわけでもなくて、
単に「そうしないと勝てない」というだけです。
もうちょっと言うと、『掛け算と足し算の世界の違い』とか、
『連続した世界と隔離された世界の違い』を書いてるわけです。
上の例では、その妙が際立つように敢えてシンプルな例で問題を作ったので
逆に普通の分散投資の話と混同されたかも知れません。
これをもっと掘り下げて書いた以下の記事
■【発展編】 この前の問題を具体的にどう応用するか
http://kasege.net/forex/archives/2006/08/post_27.html
こちらの方が、この記事で訴えてる部分（リスク分散の話じゃないという部分）が書かれてるので
そちらを読んで頂きたいなと思います。
もしそれを読んでも「全額賭けが正解だ」と思われたら
その部分またもう少し掘り下げて書いて頂けたらと思います
投稿者 ＦＸ未経験です : 2007年07月08日 19:08
始めまして。システムトレードでＦＸをやりたいと思い、勉強中です。
まだ、実際にトレードしたことは無くて、あれこれとシステムを考えてはエクセルでバックテストをしています。
いずれは実際のトレード（しかも全自動で）なんて思っていますが、儲けるしくみをあれこれ考えるのが楽しくてちっとも先に進んでいません。
で、本題ですが、「全額賭け」が減る一方で「正解例」では無限に増えるというところがちょっと引っかかりました。
otkさんのおっしゃるとおり、「正解例」では39回のゲームで5497億5581万3888分の1の確立で破産（実際には250円だけ残ってますが）します。そして、同じ39回でみれば、最大でも29500円にしかなりませんし、その確立も5497億5581万3888分の1でしかありません。
数学的な用語は詳しくありませんが、確立分布というやつで、最初の所持金の1.25倍になる確率が最も高いのは確かで、資金を分散してゲーム回数を増やせば増やすほど最終的には1.25倍付近の結果がでる確立が高くなるのだと思います。
一方、「全額賭け」の場合、２回連続で勝てば4万円です。確立は４分の１です。39回なら最大で約55兆円です。6回負けると250円を割ります。
つまり、「正解例」は大きく勝つ可能性を捨てて小さく勝つ確立をあげるもので、「全額賭け」は破産する確立も高いが桁違いに勝つこともあるということになります。
ゲーム数が多くなると計算が難しいので、極めて簡単な例で考えてみました。
資金を分散して１回のゲームに5000円賭けるとすると２回負けで破産するので、２回のゲームでの手持ち資金を比較します。
（分散）
1/4の確立で0円、1/2の確立で12500円、1/4の確立で2万円
（全賭け）
1/4の確立で2500円、1/2の確立で1万円、1/4の確立で4万円
この場合、残り手持ち資金の期待値（言葉は正しい？）は分散した時11250円、全賭けした時15625円となり、全賭けした方が得なようにも見えます。
しかし、分散した時は12500円（2500円プラス）になる確立が最も高く、全賭けした時は1万円（増減なし）の確立が最も高くなります。
なにがなにやら分からない文章になって申し訳ありません。
言いたいことを何とかまとめると、資金の分散（投資機会の分散）は大勝・大敗の確立を抑えるリスクの分散そのものであり、打ち出の小槌ではない気がするということです。
シストレで言えば投資機会を増やすことで、運による要素を抑え、システムそのものの性能に近い結果を出すことが出来るようになるのだと考えています。
国語が苦手でどうしてもくどい文章になってしまいまいましたが、お暇がありましたらご意見を下さい。
投稿者 こうじ : 2007年07月09日 23:08
バカでもわかりますよ2分の1の確立で倍で
バカラより勝率がいいじゃないですか
賭けてもゼロにならない。
バイバイプッシュを使ったら。何ぼでも
お金が増えますよ。
投稿者 otk : 2007年10月07日 09:52
>> ＦＸ未経験さん
途中まで書かれてる事（特に前半）については、特に異論がないというか
むしろ『「全額賭け」は破産する確立も高いが桁違いに勝てる』のくだりは
私が取っている
「フルレバで部分的ながら桁違いに勝つ事を狙うから、1回のスパンでは破産しても構わない」
というスタンス（縦の分散投資）と全く同じことなんですけども、、
--
今回、結論が食い違った原因は
「正解例（部分賭け）」と「全額賭け（連続賭け）」の線引きを「どこまで厳密に線引きするか」、ですね。
私は今回、「全額賭けの場合、最初から最後まで連続してしかトレードできない。"分散"は一切挟んではいけない」という前提の元、書いてます。
全額賭けするなら、途中で分散賭けするという事は一切認めないし、"それと似たような事"も禁じてます。
しかしFX未経験さんのその見解だと、最後の最後に並行投資（分散投資）してるのと同じになってしまってます。
それなら全賭けが得です（というか、分散投資が得です、というのと同義になる）
どういう事かというと、さきほど、http://kasege.net/forex/archives/2006/08/post_27.html にも書いたんですが
期待値(手持ち資金の期待値含む）というのは、それを持ち出した時点で「並行投資した場合」について語るのと全く同じ事になってしまうからです。
具体的には、例に挙げてもらった
（分散）
1/4の確立で0円、1/2の確立で12500円、1/4の確立で2万円
（全賭け）
1/4の確立で2500円、1/2の確立で1万円、1/4の確立で4万円
の期待値を比較する事はできないというか、
比較してもいいんですが、期待値にした時点でそれは全賭けを「並行投資したら」と宗旨替えした事と同じになり
比較する意味を失います。
なぜなら、その全賭けで得られる"手持ち資金の期待値 = 15625円"は結局「分散投資した場合得られる金額」なんですから。
というのも、もうちょっと考えてみれば分かる通り
全賭けで確立的に得られる15625円というのは
「4万円が全財産だとした時に、まず小財産として1万円ずつに小分けして、それぞれで全賭けする」
という事と同じ結果を表してるのであり
それってつまり分散投資です。全賭けと言いつつも本質が分散投資になってます。期待値やそれに準ずる感覚というものは本質的にそういうものなんです。
今回の肝は、そういう話ではなく、「本当に連続して全賭けした場合どうなるか」についてのみです。
そこの前提が食い違ってるので結論が異なってしまう訳ですね。
今回の問題の前提をよくイメージするには、1万円じゃなくて「あなたの全財産1000万円を～」と文章に書いた方が
感覚的にイメージつきやすかったかもですね。
それでいて、「好きな時にやめていいが、一度やめたらもう挑戦できない」としつつ
「1円未満になったら終了」としておけば
全賭けの場合の、「最初から最後まで全賭けする」のイメージが掴みやすくなったかも知れません。
（でもそれだと、投資方法への応用をイメージするのが難しいのでやめましたが）
たとえ種が1000万でも全賭けなら24連敗で1円を割り込み終了になりますから、
まぁそんな連敗も天文学的ですが、でももしこの前提でこのギャンブルがあれば、誰でも分散する方を選ぶでしょう。
まぁこうも条件を変えると、「それは条件を変えたからだ」とツッコまれそうですが
そんな事はないんですよ。問題の根は一緒だし、今回論じたのはソコです。
むしろ、「その条件なら、分散投資の方が得だ」というならば、
それは暗に全賭けと言いながらも、分散投資のメリットが骨の髄まで沁み前提になっているからこそ、です。
>> こうじ
そういう話じゃないんだよ。
投稿者 さいら : 2008年09月12日 18:37
はじめまして。興味深く読ませていただきました。
システムトレードに興味があって、現在試行錯誤中です。
この手の問題は、「ケリーの公式」が成立するのではないでしょうか。私も、ＵＲＬでかじっただけですが・・・。
（参考にしたＵＲＬ）
http://www.geocities.jp/y_infty/management/index.html
引用すると、
賭金＝ｆ＊（資金）
ｆ＝（（Ｒ＋１）＊Ｐー１）／Ｒ
Ｒ：利益損失比（＝利益／損失）
Ｐ：勝つ確率
この場合、Ｒ＝１／0.5＝２、P=0.5ですから、ｆ＝0.25です。
「賭金」は、資金の0.25倍。ただし、ここで言う賭金は全額没収の金額ですから、今回の問題に当てはめると、１回のさいころ振り出しで、資金の１／４を失う金額を「掛け金」として充てることになります。つまり、資金の0.5倍が最適となるのではないでしょうか。
資産の増加率をｇ、掛け金の資産に対する倍率をｘとすると、
g(x)=(1+x)^0.5*(1-0.5x)^0.5
となり、xを0
今回の問題では、全掛けしても、g(1)=1ですから、破産はしないようです。期待値としては資産も増えませんが。（但し、掛け金の端数もありという前提ですが・・・）
つまり、『資産の範囲内で掛けているのであれば、０～１倍である限り破産はせず、掛け金の倍率によって、資産増加率が変化し、その最大値は、手持ち資産の半分を掛け続けたときである（資産増加率＝6.066%を期待できる）』ではないでしょうか。
蛇足ですが、２４０回（相場だと１日１回で約１年）続けると、約１３７万倍になります。すごーい！
何れにしても、分散（一度に複数のサイコロを振る）しようが、まとめ掛けしようが結果は同じとなるはずです。
ただし、心理的には分散して平準化を図った方がストレスは少ないと思いますが・・・。
「分散投資でリスク分散」というのは、リスクが異なる場合に意味をなすのであって、この場合、毎回（あるいはどの卓でも）リスクは「１／２の割合で掛け金の半額没収」で同一であり、意味をなさないと思います。
こんな解答でどうでしょうか？
投稿者 江戸川 : 2008年12月06日 01:12
大変興味深く読ませて頂きました。
また、素晴らしいツールも使わせて頂いております。
ものすごい遅レス（しかも長文）ですが、さいらさんに便乗します。
☆ギャンブルA
・50% の確率で、賭け金が 100% 増える
・50% の確率で、賭け金が 50% 減る
対して
☆ギャンブルB
・80% の確率で、賭け金が 30% 増える
・20% の確率で、賭け金が 90% 減る
1回ごとの増加率を確率で考えると、
☆ギャンブルA
◎全額賭け
(0.0+1.0*2)^0.5*(0.0+1.0*0.5)^0.5=1.0000
◎1割賭け
(0.9+0.1*2.0)^0.5*(0.9+0.1*0.5)^0.5=1.0223
◎5割賭け＝ケリー基準
(0.5+0.5*2.0)^0.5*(0.5+0.5*0.5)^0.5=1.0607
☆ギャンブルB
◎全額賭け
(0.0+1.0*1.3)^0.8*(0.0+1.0*0.1)^0.2=0.7783
◎1割賭け
(0.9+0.1*1.3)^0.8*(0.9+0.1*0.1)^0.2=1.0048
◎2.2割賭け≒ケリー基準
(0.78+0.22*1.3)^0.8*(0.78+0.22*0.1)^0.2=1.0070
という訳で資産増加率はケリー基準が最大です。
ハイフェッツさんは残念ながら間違っています。
また、otkさんの「複数同時に一定の金額でゲームをする」は定額賭けであり
「手持ちの資産の10分の1で賭け続ける」定率賭けと同じとは言えません。
定率1割賭けなら10回で1.0223^10回=1.2468、39連敗では0.0164となります。
定率賭け（全額賭けも定率10割賭け）と比較してはいけません。
ＦＸ未経験さんと話が食い違ったのもむしろこれが原因でしょう。
全額賭けと言えど「理論上」破産のない定率賭けは、
無限回の試行となれば、定額掛けより優れているからです。
並行での分散投資は、時間的な分散投資には及ばないと言えます。
この議論については算術平均（足して割る）から求める期待値で考えていることが
話をややこしくしていると思います。
【発展編】のコメント欄での議論も同じですね。
今回のような定率賭けについては
算術平均より幾何平均（掛けて乗根をとる）の方が適していると考えています。
上記の増加率がそれにあたります。
増加率が1.0以上でないと不利な賭けとなるのです。
つまり、ギャンブルBについては
期待値では有利に見えても増加率（定率賭け）では不利な賭けとなるのです。
=0.7783^10回=0.0816
ギャンブルAについてはトントンですね。
定率賭けなら利益を上げられる見込みもあります。
「トレードは複利が命」「レバは一定に」と考えるなら
是非、幾何平均の最大化を検討してみて下さい。
ケリー基準については、書籍「天才数学者はこう賭ける」に詳しいです。
目から鱗が流れだしますので読んでみて下さい。
ちなみに・・・
「正解例」は5割賭けということでケリー基準に非常に近いやり方ですね。
資金の出し入れで分かりやすくなっています。
増加率がその分犠牲となっているようですが。
これと似た話が「シャノンの魔物」として同著に載ってます。
あと、直感ですが株式は対数的な動き（2倍と半分が等確率）に近いと思いますので
今回のギャンブルと似ている部分があると思ってます。
投稿者 oka : 2009年12月06日 21:42
かなり亀レスなんで恐縮ですが、簡単なプログラム書いて実験してみましたが、資金＝掛け金でも問題なくないですか？
PF2ということになるので純粋に確率50％なら掛け金は大きくすればするほど利益になるんでは？
私が何か勘違いしてるのかな？
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Diagnostics;
using System.Linq;
using System.Security.Cryptography;
namespace ConsoleApplication1
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
List sikins = new List();
for (int round = 1; round
{
double sikin = 10000;
double kakekin = sikin;
Random r = new Random(DateTime.Now.Millisecond);
for (int i = 0; i
{
byte[] randoms = new byte[100];
RNGCryptoServiceProvider rng = new RNGCryptoServiceProvider();
rng.GetBytes(randoms);
int n = randoms[r.Next(0, 99)];
if (n % 2 == 0)
{
sikin += kakekin * 2;
}
else if (n % 2 == 1)
{
sikin -= kakekin / 2;
}
}
Trace.WriteLine(sikin.ToString("#,##0"));
sikins.Add(sikin);
}
Trace.WriteLine("平均 " + sikins.Average().ToString("#,##0"));
}
}
}
投稿者 通りすがり : 2006年08月30日 18:46
初めまして、非常に興味深いお話でした。
正直、難しくてよくわからなかったのですが
負けたとき、掛け金が"半分"ってのが気になりますね。
ギャンブルでは負けたとき掛け金はゼロになるのが普通ですよね。
半分と倍で、それぞれ確率が50％なら増えるのでしょうが
そんな賭ける人に都合のよいギャンブルってあるんでしょうか？
これをFX等に適応した場合、半分と倍の確率を同じにできる
手法ってあるんでしょうか？
例えば、半分と倍では結果として４倍の差できますよね
ストップを10pp、リミットを40pp
相場がランダムウォークだとして、それぞれが刺さる確率って
圧倒的な差があるんじゃないでしょうか。
よくわかってないかもですが、幼稚なカキコミすみません。